Номер / задача 1210 страница 235, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Макарычева
Учебник: Просвещение, 2023
Условие: Делится ли число $\underbrace{111...1}_{81 \text{ раз}}$ на 81?
Обозначим 
— число, состоящее из 
единиц.
Заметим, что 
, то есть если 
, то 
делится на 
и 
делится на 
.
Шаг 1. Покажем, что 
делится на 81.
Заметим, что 
.
Шаг 2. Покажем, что 
делится на 9.
Сумма цифр числа 
равна 
, что делится на 9. Значит, 
.
Найдём частное:
Шаг 3. Покажем, что 
делится на 9 ещё раз (то есть на 81).
Так как 
, а 
, то 
делит 
. Действительно:
где 
— сумма из 9 слагаемых. Значит:
Мы уже знаем, что 
. Теперь достаточно показать, что 
тоже делится на 9.
Шаг 4. Заметим, что 
(так как 
, то 
для любого 
).
Тогда:
Значит, 
.
Шаг 5. Итого:
где 
и 
.
Следовательно:
Ответ: да, число 
делится на 81.
